Time Series ja Forecasting. R: llä on laaja valikoima aikasarjatietojen analysointi Tässä osassa kuvataan aikasarjan luominen, kausittainen hajoaminen, mallinnus eksponentiaalisilla ja ARIMA-malleilla sekä ennuste ennustepaketilla. Aikasarjojen luominen. muunnetaan numeerinen vektori R-aikasarjakohteeksi Muoto on ts-vektori, alku, loppu, taajuus, jossa alku ja loppu ovat ensimmäisen ja viimeisen havainnon aikoja ja taajuus on havaintojen lukumäärä yksikköajasta 1 vuosittain, 12 kuukausittain jne. Tallentaa numeerisen vektorin, joka sisältää 72 kuukausittaista havaintoa tammikuusta 2009 joulukuuhun 2014 aikasarjan kohteena myts-ts myvector, alku c 2009, 1, loppu c 2014, 12, taajuus 12 ja aikasarja kesäkuu 2014 Joulukuu 2014 myts2 - ikkuna myts, alku c 2014, 6, loppu c 2014, 12 tontti-sarjan tontti myts. Seasonal Decomposition. Asarjat, joissa lisäys trendi, kausiluonteinen ja epäsäännölliset komponentit voidaan hajottaa käyttäen stl-funktio Huom. että sarja, jolla on moninkertaiset vaikutukset, voidaan usein muuntaa sarjaksi lisävaikutuksin log muunnoksen avulla i e newts-log myts. Kausittaiset hajoamisvaatimukset - ts. Myts, tontti sopivat lisää tontteja monthplot myts kirjaston ennuste seasonplot myts. Exponential Models. Both HoltWinters toimii perusasennuksessa ja ets-toiminto ennustepaketissa voidaan käyttää sopivaksi eksponentiaalisia malleja. yksinkertainen eksponentti - malleihin sopiva taso - HoltWinters myts, beta FALSE, gamma FALSE kaksinkertainen eksponentiaalinen - malleja taso ja trendi sovi - HoltWinters myts, gamma FALSE kolminkertainen eksponentiaali - mallit taso, trendi ja kausittaiset komponentit sopivat - HoltWinters myts ennustus tarkkuus kirjasto ennuste tarkkuus sopii Ennustaa seuraavia kolmea tulevaa arvoa kirjaston ennusteennusteen ennustetusta sovituksesta, 3 tonttiennusteen sovi, 3.ARIMA-mallit. Arima-funktiota voidaan käyttää autoregressiivisen integroidun liikkuvan keskiarvon mallin sovittamiseen. Muita hyödyllisiä toimintoja ovat. Aikasarjojen verrattu versio, siirretyt takaisin k-havainnot. Käyttämällä R-aikaa Time Series Analysis. Time-sarjan analyysiä varten. Tämä esitteessä kerrotaan, kuinka voit käyttää R-tilastollisia ohjelmistoja yksinkertaisten analyysien tekemiseen, jotka ovat yhteisiä aikasarjatietojen analysoinnissa. Tämä esitteessä oletetaan, että lukijalla on jonkin verran perustietoa aikasarjasta analyysi, ja kirjanen pääpaino ei ole selittää aikasarjan analyysi vaan selittää, miten näiden analyysien toteuttaminen usin G R. Jos olet uusi aikasarjaan liittyvä analyysi ja haluat lisätietoja mistä tahansa tässä esitetystä käsitteestä, suosittelen ehdottomasti Open University - kirjan aikasarjan tuotekoodia M249 02, joka on saatavana Open University Shopista. Kirjanen, aion käyttää aikasarjatietojoukkoja, jotka Rob Hyndman on tarjonnut ystävällisesti Time Series Tietokirjastaan. Jos pidät tästä kirjasesta, saatat haluta myös tarkastella kirjoni R: n käytöstä biolääketieteellisissä tilastoissa ja minun kirjasen käyttäminen R monivariate analyysi. Reading Time Series tiedot. Ensimmäinen asia, että haluatte tehdä analysoida aikasarjan tietoja on lukea sen R, ja piirtää aikasarjan Voit lukea tietoja R käyttämällä Skannaustoiminto, joka olettaa, että tietosi peräkkäisiksi aikapisteiksi ovat yksinkertaisessa tekstitiedostossa yhdellä sarakkeella. Esimerkiksi tiedosto sisältää tietoja peräkkäisten kuninkaiden aikojen kuolemasta alkaen William the Conquerorin alkuperäisestä lähteestä Hipel ja Mcleod, 19 94. Tietojoukko näyttää tältä. Ainoastaan ensimmäisen tiedoston rivit on näytetty. Kolme ensimmäistä riviä sisältävät joitain kommentteja tietoihin, ja haluamme sivuuttaa tämän, kun luemme tiedot R: ksi. Voimme käyttää tätä käyttämällä Skannaustoiminnon ohitusparametri, joka määrittää, kuinka monta riviä tiedoston yläosassa ohitetaan Tiedoston lukemiseksi R: ksi, jätetään huomiotta kolme ensimmäistä riviä, kirjoitetaan. Tällöin 42 peräkkäisen kuningaskunnan kuoleman ikä On luettu muuttuviin kuntiin. Kun olet lukenut aikasarjan datan R: ksi, seuraava vaihe on tallentaa dataa aikasarjakohteeseen R, jotta voit käyttää R s: n monia toimintoja aikasarjatietojen analysoimiseksi. Tallennetaan tiedot aikasarjakohteessa, käytämme ts-funktiota R: ssä esimerkiksi tallennettaessa muuttuvien kuninkaiden dataa aikasarjakohteena R: ssä, tyypillisesti. Vaiko aika, jonka olet saanut aikaan aikasarjan tietojoukko kerättiin säännöllisin väliajoin, jotka olivat alle vuoden, esimerkiksi kuukausittain tai neljännesvuosittain Tässä tapauksessa voit määrittää kuinka monta kertaa tietoja kerättiin vuodessa käyttämällä taajuusparametria ts-toiminnossa Kuukausittaisten aikasarjatietojen osalta asetat taajuuden 12, kun taas neljännesvuosittaisten aikasarjatietojen osalta asetat taajuuden 4. Määritä myös ensimmäinen vuosi, jona tiedot kerättiin, ja ensimmäisen aikavälin kyseisellä vuodella käyttämällä alkuparametria ts-toiminnossa. Esimerkiksi jos ensimmäinen datapiste vastaa vuoden 1986 toista vuosineljänneksi, 2. Esimerkki on Newtonin kaupungissa syntyneiden kuukausittaisten syntymää koskevien tietojen määrä, tammikuusta 1946 joulukuuhun 1959, jonka Newton keräsi alun perin. Nämä tiedot ovat saatavilla tiedostoon. Voimme lukea tiedot R: ksi ja tallentaa ne Aikasarjojen esine, kirjoittamalla. Samalla tavoin tiedosto sisältää kuukausittaista myyntiä matkamuistomyymälässä rannikkokaupungissa Queenslandissa, Australiassa, tammikuusta 1987 joulukuuhun 1993 lähtien alkuperäiset tiedot Wheelwrightilta ja Hyndmanilta, 1998 Voimme lukea tiedot R: ään typing. Plotting Time S Kun olet lukenut aikasarjan R: hen, seuraava vaihe on tavallisesti tehdä aikasarjatiedon juoni, jota voit tehdä esimerkiksi R.-toiminnolla. Esimerkiksi kuoleman ikä-aikasarja Joka on 42 peräkkäistä Englannin kuningasta, tyyppiä. Voimme nähdä ajankohtana, että tätä aikasarjaa voitaisiin todennäköisesti kuvata lisäainemallilla, koska datan satunnaisvaihtelut ovat karkeasti vakioita koko ajan. Aikasarjoja syntymästä kuukaudessa New Yorkin kaupungissa. Me näemme tältä aikasarjalta, että kuukausittaisten syntymää koskevien kuukausittaisten kuukausittaisten kausivaihtelujen mukaan kausiluonteinen vaihtelu on huippua joka kesä ja jokainen talvi Jälleen näyttää siltä, että tätä aikasarjaa voitaisiin todennäköisesti kuvata lisäainemallilla, sillä kausivaihtelut ovat karkeasti vakioita koko ajan ja eivät näytä riippuvan aikasarjojen tasosta, ja myös satunnaisvaihtelut näyttävät olevan karkeasti vakiona koko ajan. Simila Rhin, matkamuistomyymälän kuukausimyynnin aikasarjan kuvaamiseksi Queenslandin, Australiassa sijaitsevassa rantalomakohdekaupungissa. Tässä tapauksessa näyttää siltä, että lisäainemalli ei ole sopiva tämän aikasarjan kuvaamiseen, koska koon Kausivaihteluista ja satunnaisvaihteluista näyttävät kasvavan aikasarjan tasolla. Täten voimme joutua muuntamaan aikasarjaa transformoidun aikasarjan saamiseksi, jota voidaan kuvata lisäainemallin avulla. Esimerkiksi voimme muuntaa Aikasarjan laskemalla alkuperäisen datan luonnollinen loki. Tässä voidaan havaita, että logaritmisesti muuttuneiden aikasarjojen kausivaihteluiden ja satunnaisvaihteluiden koko näyttävät olevan karkeasti vakioita ajan myötä eivätkä ne ole riippuvaisia Aikasarjat Siten log-transformoidut aikasarjat voidaan luultavasti kuvata käyttämällä lisäainemallia. Aikasarjan jakaminen. Aikasarjojen yhdistäminen tarkoittaa sen erottamista sen komponentteihin, jotka ovat yleensä Järjestyskomponentti ja epäsäännöllinen komponentti, ja jos se on kausittainen aikasarja, kausivaihteleva komponentti. Ei-kausittaisten tietojen lähettäminen. Ei-kausittainen aikasarja koostuu trendikomponentista ja epäsäännöllisestä komponenteesta. Aikasarjojen hajottaminen tarkoittaa yrittää erottaa aikasarjat näihin komponentteihin, eli trendikomponentin ja epäsäännöllisen komponentin estimointi. Jotta voidaan arvioida ei-kausittaisen aikasarjan trendikomponentti, jota voidaan kuvata lisäainemallilla, on tavallista käyttää tasoitusmenetelmää, kuten Kun lasketaan aikasarjan yksinkertainen liukuva keskiarvo. TTR R-paketin SMA-funktiota voidaan käyttää ajastussarjan datan sileämiseen käyttämällä yksinkertaista liukuvaa keskiarvoa. Tämän toiminnon käyttämiseksi on ensin asennettava TTR R-paketti ohjeita siitä, miten R-paketin asentaminen, katso R-paketin asentaminen Kun olet asentanut TTR R-paketin, voit ladata TTR R - paketin kirjoittamalla. Voit sitten käyttää SMA-funktiota aikasarjatietojen säätämiseen. SMA-toiminnolla, sinun on määritettävä yksinkertaisen liukuvan keskiarvon tila-alue parametrilla n. Esimerkiksi laskemalla yksinkertainen liukuva keskiarvo järjestyksessä 5 asettamme n 5 SMA-toiminnolle. Esimerkiksi, kuten edellä on mainittu, 42 peräkkäisen Englannin kuningattaren kuoleman aikasarja ei ole kausiluonteinen, ja se voidaan luultavasti kuvata lisäainemallin avulla, koska datan satunnaiset vaihtelut ovat karkeasti vakioita koko ajan. Siksi voimme kokeilla Arvioida tämän aikasarjan trendikomponentti tasoittamalla käyttämällä yksinkertaista liukuvaa keskiarvoa Jotta sileä aikasarja käyttämällä yksinkertaista liukuvaa keskiarvoa järjestyksessä 3 ja piirrä tasoitetut aikasarjatiedot, kirjoitamme. On silti näyttää melko paljon Satunnaiset vaihtelut aikasarjassa tasoitetaan käyttäen yksinkertaista liikkuvaa keskimääräistä tilausta 3 Näin voidaan arvioida trendikomponentti tarkemmin, voimme haluta yrittää tasoittaa dataa yksinkertaisella liukuva keskiarvo korkeammalla järjestyksellä Tämä vie vähän kokeiluversioita, ja - virhe, löytää oikea tasoitusmäärä Esimerkiksi voimme yrittää käyttää yksinkertaista liukuvaa keskimääräistä tilausta 8. Tasoitettu data yksinkertaisella liukuva keskimääräinen tilaus 8 antaa selkeämmän kuvan trendikomponentista ja näemme, että Englantilaisten kuninkaiden kuoleman ikä näyttäisi vähentyneen noin 55-vuotiaasta noin 38 vuoteen 20 ensimmäisen kuninkaallisen vallan aikana ja sitten nousi sen jälkeen noin 73-vuotiaaksi 40. kuninkaan Aikasarjassa. Kausittaisten tietojen jakaminen. Kausittainen aikasarja koostuu trendikomponentista, kausittaisesta komponenteesta ja epäsäännöllisestä komponenteesta. Aikasarjojen hajottaminen tarkoittaa aikasarjan erottamista näihin kolmeen osaan eli näiden kolmen komponentin arvioimiseen. trendikomponentti ja kausittainen komponentti, jota voidaan kuvata additiomallin avulla, voimme hajottaa funktiota R: ssä. Tämä funktio arvioi tietyn aikakauden trendin, kausittaisen ja epäsäännöllisen komponentin me-sarja, jota voidaan kuvata lisäainemallin avulla. Toiminto hajoaa palauttaa listan kohteen sen tuloksena, jossa kausittaisen komponentin, trendikomponentin ja epäsäännöllisen komponentin arviot tallennetaan listan objektien nimettyihin elementteihin, joita kutsutaan kausittaiseksi, trendiksi, Esimerkiksi, kuten edellä on kuvattu, New Yorkin kaupungissa syntyneiden kuukausittaisten syntymäärien aikasarja on kausiluonteinen ja joka kesällä ja joka talvella on huippu ja voidaan luultavasti kuvata lisäainemallilla sesonkiajan ja satunnaiset vaihtelut näyttävät olevan kooltaan karkeasti vakioita. Tämän aikasarjan trendin, kausivaihteluiden ja epäsäännöllisten komponenttien arvioimiseksi kirjoitamme. Kausittaisten, trendien ja epäsäännöllisten komponenttien arvioituja arvoja tallennetaan nyt muuttujiin birthstimeseriescomponents kausiluonteisiin, birthstimeseriescomponents trendiin ja birthstimeseriescomponents random Esimerkiksi, voimme tulostaa kausittaisen komponentin arvioidut arvot kirjoittamalla. Arvioitu Kausittaiset tekijät ovat tammikuun ja joulukuun välisiä kuukausia ja ovat samat jokaiselle vuodelle. Suurin kausittainen tekijä on heinäkuussa noin 1 46, ja alin helmikuussa noin -28, mikä osoittaa, että syntymässä on huipussaan Heinäkuussa ja kuukautiset syntymällä helmikuussa joka vuosi. Voimme piirtää aikasarjan arvioidut trendit, kausiluonteiset ja epäsäännölliset osat hyödyntämällä juoni-funktiota. Tontti esittää alkuperäisen aikasarjan yläosan, arvioitu suuntaus Komponentti toiseksi ylhäältä, arvioitu kausittainen komponentti kolmanneksi ylhäältä ja arvioitu epäsäännöllisen komponentin pohja. Huomataan, että arvioitu trendikomponentti osoittaa pienen laskun noin 24: stä 1947: stä noin 22: een vuonna 1948, jota seurasi tasaista lisäystä sitten Noin 27 vuonna 1959.Seasonally Adjusting. If sinulla on kausittainen aikasarja, jota voidaan kuvata käyttämällä lisäainemallia, voit kausitasoittaa aikasarjaa arvioimalla kausittainen osa ja vähentämällä arvioitu Kausittainen komponentti alkuperäisestä aikasarjasta Voimme tehdä tämän käyttämällä hajotusfunktion laskemaa kausittaista osaa. Esimerkiksi New Yorkin kaupungissa syntyvien syntymää koskevien aikasarjousten mukauttaminen kausittain voidaan arvioida kausittaisen Komponentti hajoaa ja vähennä sitten kausittaisen komponentin alkuperäisestä aikasarjasta. Tällöin voimme piirtää kausitasoitetut aikasarjat käyttämällä tonttitoimintoa kirjoittamalla. Näet, että kausivaihtelu on poistettu kausitasoitetusta aikasarjasta. kausitasoitettu aikasarja sisältää nyt vain trendikomponentin ja epäsäännöllisen komponentin. Forecasts käyttäen eksponentiaalinen Smoothing. Exponential tasoitus voidaan tehdä lyhyen aikavälin ennusteita aikasarjojen data. Simple Exponential Smoothing. If sinulla on aikasarja, jota voidaan kuvata käyttämällä jatkuvaa lisäysmallia ja kausittaisuutta, voit käyttää yksinkertaista eksponentiaalista tasoitusta tekemään lyhyen aikavälin ennusteita. Yksinkertainen eksponentiaalinen tasoitusmenetelmä tarjoaa keinon estimoida taso nykyisellä ajanhetkellä Smoothing ohjataan parametrilla alfa tasojen arvioon nykyisellä aikapisteellä Alfa-arvon arvo on välillä 0 ja 1 Alfa-arvot, jotka ovat lähellä 0 merkitsee sitä, että tuoreimmista havainnoista tehdään vähäinen paino arvioitaessa tulevia arvoja. Esimerkiksi tiedosto sisältää vuosittaista sademäärää tuumaa kohden Lontooseen vuodesta 1813-1912 alkuperäiset tiedot Hipel ja McLeod, 1994 Voimme lukea tiedot Osaksi R ja piirrä se kirjoittamalla. Voit nähdä tontin että on noin vakio taso keskimääräinen pysyy vakiona noin 25 tuumaa Satunnaiset vaihtelut aikasarjojen näyttävät olevan karkeasti vakiona koko ajan, joten on todennäköisesti tarkoituksenmukaista Kuvaamaan tietoja käyttämällä lisäainemallia Siten voimme tehdä ennusteita käyttämällä yksinkertaista eksponentiaalista tasoitusta. Jotta voimme tehdä ennusteita käyttäen yksinkertaista eksponentiaalisen tasoituksen R: ssä, voimme sovittaa yksinkertaisen eksponentiaalisen sileän G ennustemallin käyttäen HoltWinters-funktiota R: ssä HoltWintersin käyttämistä yksinkertaisen eksponentiaalisen tasoituksen aikaansaamiseksi meidän on asetettava parametrit beta FALSE ja gamma FALSE HoltWinters-funktiossa beta - ja gamma-parametreja käytetään Holtin eksponenttisen tasoittamiseen tai Holt-Winters-eksponentiaaliseen HoltWinters-funktio palauttaa luettelomuuttujan, joka sisältää useita nimettyjä elementtejä. Esimerkiksi yksinkertaisen eksponentiaalisen tasoituksen käyttämiseksi ennusteiden tekemiseksi Lontoon vuotuisten sateiden aikasarjoista, kirjoitamme. HoltWintersin tuotos kertoo meille että alfa-parametrin arvioitu arvo on noin 0 024 Tämä on hyvin lähellä nollaa, kertoo meille, että ennusteet perustuvat sekä viimeaikaisiin että vähemmän hiljattain tehtyihin havaintoihin, vaikka viimeaikaisissa havainnoissa on jonkin verran enemmän painoa. HoltWinters vain tekee ennusteita alkuperäisen aikasarjan kattamana ajanjaksona. Tässä tapauksessa alkuperäiset aikasarjat sisälsivät Lontooseen sademetsien 1813-1912, s O ennusteet ovat myös 1813-1912.Yleisessä esimerkissä olemme tallentaneet HoltWinters-toiminnon tuoton luettelomuuttuessa rainseriesforecasts HoltWintersin tekemät ennusteet tallennetaan tämän luettelomuuttujan nimettyyn elementtiin, jota kutsutaan kutsuttuna, jotta voimme Saat arvot kirjoittamalla. Voimme piirtää alkuperäisen aikasarjan ennusteita vastaan kirjoittamalla. Tontti näyttää alkuperäisen aikasarjan mustalla ja ennusteet punaisella rivillä. Ennusteiden aikasarja on paljon tasaisempi kuin aikasarja Alkuperäiset tiedot. Tämän ennusteiden tarkkuuden mittarina voimme laskea neliövirheiden summan otoksen ennustevirheille eli ennustevirheille alkuperäisen aikasarjamme kattamana ajanjaksona summa - squared-virheet tallennetaan nimettyyn elementtiin listamuuttujan rainseriesforecasts nimeltään SSE, joten voimme saada arvon kirjoittamalla. Tämä on tässä summa-neliö-virheet on 1828 855.Et on yleistä yksinkertaisessa eksponentti tasoitus käyttää Ensimmäinen arvo aikasarjassa tasona alkuarvoksi Esimerkiksi Lontoon sademäärän aikasarjassa ensimmäinen arvo on 23 56 tuumaa sademäärälle vuonna 1813 Voit määrittää HoltWinters-toiminnon tasolle alkuarvon Parametrin käyttäminen Esimerkiksi, jos haluat tehdä ennusteita, joiden alkuperäinen arvo on 23 56, kirjoitamme. Kuten yllä selitettiin, oletusarvoisesti HoltWinters tekee vain ennusteita alkuperäisen datan kattamalle ajanjaksolle, joka on 1813-1912 Sade-aikasarjat Voimme tehdä ennusteita lisäämästä aikapisteitä käyttämällä R-ennustepaketin toimintoa Käyttääksesi funktiota, tarvitsemme ensin R-pakettien asennusohjeet R-paketin asentamisesta, katso Asennusohje R-pakettia. Kun olet asentanut ennuste-R-paketin, voit ladata ennustetun R-paketin kirjoittamalla. Kun käytät funktiota, sen ensimmäinen argumenttitieto syötät sen ennustavan mallin, jonka olet jo asentanut HoltWinterillä s toiminto Esimerkiksi sademäärän aikasarjan tapauksessa tallennimme ennustemallin, joka on tehty käyttäen HoltWinters-muuttujaa rainseriesforecastsissa. Määritä, kuinka monta muuta aikapistettä haluat tehdä ennusteita käyttämällä h-parametria. Esimerkiksi Ennuste sademäärästä vuosille 1814-1820 kahdeksan vuotta käyttämällä we type. Funktio antaa sinulle ennustuksen vuodelle, 80 ennustusintervallin ennusteelle ja 95 ennusteintervallin ennusteeseen. Esimerkiksi ennustettu sademäärä 1920 on noin 24 68 tuumaa, ja 95 ennustevälin 16 24, 33 11. Toteuttaa ennusteet, joita voimme käyttää funktiota. Tässä ennusteessa 1913-1920 esitetään sininen viiva, 80 ennustusväli Oranssilla varjostetulla alueella ja 95: n ennustusväli keltaisena varjostetulla alueella. Ennustevirheet lasketaan havainnoiduiksi arvoiksi miinus ennustetuilla arvoilla jokaiselle aikapisteelle. Voimme laskea vain ennakoidut virheet ajanjaksolle b Y alkuperäinen aikasarja, joka on 1813-1912 sademäärästä Kuten edellä on mainittu, ennustavan mallin tarkkuus on summittaisen virheen SSE summaennustevirheissä. Näytteenäytteet ennustevirheet tallennetaan Jos muuttujaa ennustavaa mallia ei voida parantaa, ei tule olemaan korrelaatioita ennustevirheiden välillä peräkkäisten ennusteiden kanssa Toisin sanoen, jos peräkkäisten ennusteiden ennustevirheiden välillä on korrelaatioita, on todennäköistä, että yksinkertaisia eksponentiaalisia tasausennusteita voidaan parantaa toisen ennustustekniikan avulla. Jotta voidaan selvittää, onko näin, saadaan korrelointi otoksen ennakoiduista virheistä viiveille 1-20. Voimme laskea korreloinnin Ennustevirheet, jotka käyttävät ACf-funktiota R: ssa Määritä suurin viivästys, jota haluamme tarkastella, käytämme parametria acf: ssä. Esimerkiksi, Lue Lontoon sademäärätiedot viiveille 1-20, me kirjoitamme. Voit nähdä näytekorografiamografiasta, että autokorrelaatio viiveellä 3 on vain koskettaa merkitysrajoja Testaa, onko olemassa merkittäviä todisteita nollasta poikkeavista korrelaatioista viiveissä 1- 20, voimme suorittaa Ljung-Box - testin Tämä voidaan tehdä R: llä käyttämällä funktiota Maksimi lag, jota halutaan tarkastella, määritetään funktion lag-parametrilla Esimerkiksi, onko olemassa nollasta Autokorrelaatioita, jotka ovat myöhässä 1-20, Lontoon sademäärän datan ennustevirheitä varten. Tässä Ljung-Box - testitilasto on 17 4 ja p-arvo on 0 6, joten ei ole juurikaan näyttöä ei - Nolla autokorrelaatioita otoksen ennustevirheissä viiveissä 1-20.Ole varma, että ennustavaa mallia ei voida parantaa, on myös hyvä tarkistaa, onko ennustevirheet jaetaan tavallisesti keskimääräisellä nolla ja vakio vaihtelulla. onko ennustevirheillä jatkuva varianssi, voimme ma ke on otettu näytteen ennustevirheitä varten. Kuvaaja osoittaa, että näyteennusteen virheet näyttävät olevan karkeasti muuttumattomia ajan kuluessa, vaikkakin aikasarjojen 1820-1830 alkamisen vaihtelut voivat olla hieman Pienempi kuin myöhemmässä päivämääränä, esim. 1840-1850. Voit tarkistaa, ovatko ennustevirheet jaetaan normaalisti nollaan, ja voimme piirtää ennustavan virheen histogrammin, jossa on päällekkäinen normaali käyrä, jolla on keskiarvo nolla ja sama keskihajonta kuin Ennustevirheiden jakaminen Tätä varten voimme määritellä alla olevan R-funktiokaavionForecastErrors. Yhteyden on kopioitava yllä oleva toiminto R: ksi sen käyttämiseksi Voit käyttää plotForecastErrors - ohjelmaa, jotta voit piirtää histogrammin, jossa on ennustevirheiden peittämä normaali käyrä Sateen ennusteita varten. Tie osoittaa, että ennustevirheiden jakautuminen on suunnilleen keskittynyt nollaan ja on enemmän tai vähemmän normaalisti jaettu, vaikka se näyttää olevan hieman vinoon oikealle verrattuna standardiin l-käyrä Oikea vinoviiva on kuitenkin suhteellisen pieni, joten on todennäköistä, että ennustevirheet jaetaan normaalisti nollalla. Ljung-Box-testi osoitti, että näytteen ennustevirheissä on vain vähän todisteita nollasta poikkeavista autokorrelaatioista , ja ennustevirheiden jakautuminen näyttäisi normaalisti jakautuvan keskimääräiseen nollaan. Tämä viittaa siihen, että yksinkertainen eksponentiaalinen tasoitusmenetelmä antaa riittävän ennustavan mallin Lontoon sademäärälle, jota ei todennäköisesti voida parantaa. Lisäksi oletukset, joiden mukaan 80 ja 95 ennustevälit olivat perustuen siihen, että ennustevirheissä ei ole autokorrelaatioita, ja ennustevirheet jaetaan normaalisti keskiarvolla nollaan ja vakio varianssi on luultavasti pätevä. Holtin eksponentiaalinen tasoittaminen. Jos sinulla on aikasarja, jota voidaan kuvata käyttämällä lisäainemallia lisäämällä tai laskevaa suuntausta ja kausittaisuutta, voit käyttää Holtin eksponentiaalisia tasoituksia tekemään lyhyen aikavälin ennusteita. Holtin eksponentiaalinen tasoitus arvioi tason ja kaltevuuden nykyisellä ajanhetkellä Sekoittumista ohjataan kahdella parametrilla, alfa, nykyisen aikapisteen tason arvioimiseksi ja beta-arvolla trendikomponentin kulmakerroin b nykyisellä ajanhetkellä Kuten yksinkertaisen eksponentiaalisen tasoituksen tapauksessa, paramters alpha ja beta ovat arvoja välillä 0 ja 1, ja arvot, jotka ovat lähellä 0, merkitsevät pienintä painoa viimeisimpiin havaintoihin arvioitaessa tulevia arvoja. Esimerkiksi aikasarjasta, voidaan luultavasti kuvata käyttäen lisäainemallia trendillä, eikä kausivaihtelu ole naisten helmien hihnojen vuotuisen halkaisijan aikasarja vuosilta 1866-1911. Tietoja on saatavilla Hipelin ja McLeodin (1994) alkuperäisillä tiedoilla. Voimme lukea ja piirtää R: n tiedot kirjoittamalla. Voimme nähdä tontin siitä, että haemalinjan halkaisija kasvoi noin 600: stä 1866: sta noin 1050: een vuonna 1880 ja että sen jälkeen läpimitta laski noin 520: een N 1911. Ennusteiden tekemiseksi voimme sovittaa ennakoivan mallin käyttäen HoltWinters-funktiota R: ssä HoltWintersin käyttämiseksi Holtin eksponenttista tasoitusta varten, meidän on asetettava parametri gamma FALSE gamma-parametri, jota käytetään Holt-Winters-eksponenttista tasoittamiseen kuvatulla tavalla Esimerkiksi, jos haluat käyttää Holtin eksponenttista tasoitusta sopivaksi hameen halkaisijan ennakoivan mallin kanssa, kirjoitamme. Alfa-arvon arvioitu arvo on 0 84 ja beta on 1 00. Nämä ovat molemmat korkeita, kertoivat meille, että sekä arvio Nykyisen tason arvosta ja trendikomponentin kulmasta b perustuvat pääasiassa aikasarjojen viimeaikaisiin havaintoihin. Tämä tekee hyvää intuitiivista mielekästä, koska aikasarjan taso ja kaltevuus muuttuvat melko paljon Ajanjakson aikana Otosnäytteen ennustevirheiden summa-neliövirheiden arvo on 16954. Voimme piirtää alkuperäisen aikasarjan mustana viivana, ennustetut arvot punaisena viivana edellä kirjoittamalla . Voimme nähdä kuvasta, että in-samp le - ennusteet sopivat melko hyvin havaittujen arvojen kanssa, vaikka ne yleensä viivästyvät havaittujen arvojen alapuolelle hieman. Jos haluat, voit määrittää trenditekijän tason ja rinteen b alkuarvot käyttämällä argumentteja ja argumentteja HoltWinters-funktio On tavallista asettaa tason alkuarvo ensimmäiselle arvolle aikasarjassa 608 hameiden tiedoille ja kaltevuuden alkuarvoksi toiselle arvolle miinus hattujen datan ensimmäiselle arvolle 9 Esimerkiksi , sovittamaan ennustavan mallin hamehempitietoon käyttämällä Holtin eksponentiaalisen tasoituksen, jossa aloitusarvot ovat 608 tasolle ja 9 trendikomponentin kaltevuus b. Me kirjoitamme. Yksinkertaisen eksponentiaalisen tasoituksen osalta voimme tehdä ennusteita Tulevia aikoja, joita alkuperäinen aikasarja ei kattanut käyttämällä ennustepaketin toimintoa. Esimerkiksi hamehuilun aikasarjatiedot olivat 1866-1911, joten voimme tehdä ennusteita 1912-1930 19 datapisteestä ja piirtää ne , b ennustukset näkyvät sinisenä viivana, 80 ennustusväliä oranssina varjostettuna alueena ja 95 ennustevälin keltaisena varjostuna. Yksinkertaisen eksponentiaalisen tasoituksen osalta voimme tarkistaa, voidaanko ennustavaa mallia parantaa kun tarkastelemme, onko otoksessa esiintyvien ennusteiden virheiden osoitus nollasta poikkeavista autokorrelaatioista viiveissä 1-20. Esimerkiksi hameen muodostamisessa voidaan tehdä korrelointi ja suorittaa Ljung-Box - testi kirjoittamalla. Osoittaa, että näyteautokorrelaatio näytteen ennakoiduissa virheissä viiveellä 5 ylittää merkitsevyysrajat. Odotamme kuitenkin, että yksi 20: stä autokorrelaatiosta ensimmäisten 20: n viiveen ylittäessä 95: n merkitsevän rajan satunnaisesti. Todellakin, kun suoritamme Ljung-Box-testi, p-arvo on 0 47, mikä osoittaa, että näytteen ennustevirheissä ei ole nollasta poikkeavia autokorrelaatioita viiveissä 1-20. Koska yksinkertaisen eksponentiaalisen tasoituksen pitäisi olla tarkka, että ennuste e rikkailla on vakio vaihtelu ajan funktiona ja ne jaetaan normaalisti nollan keskiarvoilla. Voimme tehdä tämän tekemällä ennustevirheiden aikataulun ja ennustevirheiden jakamisen histogrammin, jossa on yliviivattu normaali käyrä. ennustevirheet ovat suunnilleen vakioarvojen vaihtelu ajan kuluessa Histogrammi ennustevirheistä osoittaa, että on todennäköistä, että ennustevirheet jaetaan normaalisti nollaan ja vakio varianssiin. Ljung-Box-testi osoittaa, että autokorrelaatioita on vähän Ennustevirheet, kun taas ennustevirheiden aikataulu ja histogrammi osoittavat, että on todennäköistä, että ennustevirheet jaetaan normaalisti nollalla ja vakioarvolla. Siksi voimme päätellä, että Holtin eksponenttinen tasoitus tarjoaa riittävän ennustavan mallin hameen halkaisijoille, joka todennäköisesti ei ole parannettavissa. Lisäksi se tarkoittaa olettamuksia, jotka 80 ja 95 ennustevälit olivat Jotka perustuvat todennäköisesti päteviin. Holt-Winters Exponential Smoothing. Jos sinulla on aikasarja, jota voidaan kuvata käyttämällä lisäainemallia trendin kasvun tai kausivaihtelun kasvaessa tai laskemalla, voit käyttää Holt-Winters-eksponentiaalisia tasoituksia tekemään lyhyen aikavälin ennusteita. - Suomien eksponentiaalinen tasoitus arvioi tason, kaltevuuden ja kausittaisen komponentin nykyisellä ajanhetkellä Smoothing-ominaisuutta ohjataan kolmella parametrilla alfa, beeta ja gamma suhteessa trendikomponentin tasoon, kaltevuuteen b ja vastaavasti kausittaiseen komponenttiin , Nykyisellä ajanhetkellä Parametreilla alfa, beta ja gamma kaikki arvot ovat välillä 0 ja 1, ja arvot, jotka ovat lähellä 0, merkitsevät suhteellisen vähän painoa viimeisimpiin havaintoihin arvioitaessa tulevia arvoja. Esimerkiksi Aikasarja, jota voidaan todennäköisesti kuvata käyttämällä lisäainemallia, jossa on trendi ja kausivaihtelu, on aikakausi kuukausittaisen myyntiluvan aikasarjalle matkamuistomyymälässä rantalomakohde Queensland, Australia. On ennusteita, voimme sovittaa ennakoivan mallin HoltWinters-toiminnolla. Esimerkiksi matkamuistomyymälän kuukausimyynnin lokin ennakoivan mallin sovittamiseksi tyypillämme. Alfa-beeta-arvioidut arvot ja gamma ovat 0 41, 0 00 ja 0 96. Alfa 0 41: n arvo on suhteellisen pieni, mikä osoittaa, että nykyisen aikapisteen taso perustuu sekä viimeaikaisiin havaintoihin että eräisiin etäisempään havaintoon Beetan arvo on 0 00, mikä osoittaa, että trendikomponentin kaltevuuden b arvoa ei päivitetä aikasarjan ajan, vaan sen sijaan asetetaan sen alkuperäiselle arvolle. Tämä tekee hyvän intuitiivisen merkityksen, koska taso muuttuu melko vähän Mutta trendikomponentin kaltevuus b pysyy suunnilleen samana. Sen sijaan gamma 0 96: n arvo on korkea, mikä osoittaa, että kausittaisen komponentin estimaatti nykyisellä ajanhetkellä perustuu juuri viimeaikaiseen havaintoon Ns. Yksinkertaisen eksponenttisen tasoituksen ja Holtin eksponenttisen tasoituksen suhteen voimme piirtää alkuperäisen aikasarjan mustana viivana ja ennustetut arvot punaisena viivana tämän yläpuolelle. Näemme tontista, että Holt-Winters-eksponenttitekniikka On erittäin onnistunut ennustamaan kausiluonteisia huippuja, jotka tapahtuvat suunnilleen marraskuussa vuosittain. Useiden aikojen ennakointiin ei sisälly alkuperäisen aikasarjan sisällyttämistä ennustepakettiin. Esimerkiksi matkamuistomyynnin alkuperäiset tiedot ovat Tammikuusta 1987 joulukuuhun 1993 Jos me halusimme ennustaa tammikuun 1994 ja joulukuun 1998 välisenä aikana 48 kuukautta ja piirtää ennusteet, kirjoittaisimme. Ennusteet esitetään sinisenä ja oranssin ja keltaisen varjostetut alueet osoittavat 80 ja 95 ennustevälit. Voimme tutkia, voidaanko ennustavaa mallia parantaa sen tarkistamalla, onko otoksen ennustevirheissä havaittavissa nollasta poikkeavia autokorrelaatioita viiveissä 1-20 tekemällä korrelointitiedosto ja kuljettamalla Ljung-Box-testin ulosmittaus. Korrelaatiokuva osoittaa, että näytteen oletusvirheiden autokorrelaatiot eivät ylitä viiveiden 1-20 merkitystä. Lisäksi Ljung-Box-testin p-arvo on 0 6, mikä osoittaa, että is little evidence of non-zero autocorrelations at lags 1-20.We can check whether the forecast errors have constant variance over time, and are normally distributed with mean zero, by making a time plot of the forecast errors and a histogram with overlaid normal curve. From the time plot, it appears plausible that the forecast errors have constant variance over time From the histogram of forecast errors, it seems plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero. Thus, there is little evidence of autocorrelation at lags 1-20 for the forecast errors, and the forecast errors appear to be normally distributed with mean zero and constant variance over time This suggests that Holt-Winters exponential smoothing provides an adequate predict ive model of the log of sales at the souvenir shop, which probably cannot be improved upon Furthermore, the assumptions upon which the prediction intervals were based are probably valid. ARIMA Models. Exponential smoothing methods are useful for making forecasts, and make no assumptions about the correlations between successive values of the time series However, if you want to make prediction intervals for forecasts made using exponential smoothing methods, the prediction intervals require that the forecast errors are uncorrelated and are normally distributed with mean zero and constant variance. While exponential smoothing methods do not make any assumptions about correlations between successive values of the time series, in some cases you can make a better predictive model by taking correlations in the data into account Autoregressive Integrated Moving Average ARIMA models include an explicit statistical model for the irregular component of a time series, that allows for non-zero autoco rrelations in the irregular component. Differencing a Time Series. ARIMA models are defined for stationary time series Therefore, if you start off with a non-stationary time series, you will first need to difference the time series until you obtain a stationary time series If you have to difference the time series d times to obtain a stationary series, then you have an ARIMA p, d,q model, where d is the order of differencing used. You can difference a time series using the diff function in R For example, the time series of the annual diameter of women s skirts at the hem, from 1866 to 1911 is not stationary in mean, as the level changes a lot over time. We can difference the time series which we stored in skirtsseries , see above once, and plot the differenced series, by typing. The resulting time series of first differences above does not appear to be stationary in mean Therefore, we can difference the time series twice, to see if that gives us a stationary time series. Formal tests for stat ionarity. Formal tests for stationarity called unit root tests are available in the fUnitRoots package, available on CRAN, but will not be discussed here. The time series of second differences above does appear to be stationary in mean and variance, as the level of the series stays roughly constant over time, and the variance of the series appears roughly constant over time Thus, it appears that we need to difference the time series of the diameter of skirts twice in order to achieve a stationary series. If you need to difference your original time series data d times in order to obtain a stationary time series, this means that you can use an ARIMA p, d,q model for your time series, where d is the order of differencing used For example, for the time series of the diameter of women s skirts, we had to difference the time series twice, and so the order of differencing d is 2 This means that you can use an ARIMA p,2,q model for your time series The next step is to figure out the values of p a nd q for the ARIMA model. Another example is the time series of the age of death of the successive kings of England see above. From the time plot above , we can see that the time series is not stationary in mean To calculate the time series of first differences, and plot it, we type. The time series of first differences appears to be stationary in mean and variance, and so an ARIMA p,1,q model is probably appropriate for the time series of the age of death of the kings of England By taking the time series of first differences, we have removed the trend component of the time series of the ages at death of the kings, and are left with an irregular component We can now examine whether there are correlations between successive terms of this irregular component if so, this could help us to make a predictive model for the ages at death of the kings. Selecting a Candidate ARIMA Model. If your time series is stationary, or if you have transformed it to a stationary time series by differencing d tim es, the next step is to select the appropriate ARIMA model, which means finding the values of most appropriate values of p and q for an ARIMA p, d,q model To do this, you usually need to examine the correlogram and partial correlogram of the stationary time series. To plot a correlogram and partial correlogram, we can use the acf and pacf functions in R, respectively To get the actual values of the autocorrelations and partial autocorrelations, we set plot FALSE in the acf and pacf functions. Example of the Ages at Death of the Kings of England. For example, to plot the correlogram for lags 1-20 of the once differenced time series of the ages at death of the kings of England, and to get the values of the autocorrelations, we type. We see from the correlogram that the autocorrelation at lag 1 -0 360 exceeds the significance bounds, but all other autocorrelations between lags 1-20 do not exceed the significance bounds. To plot the partial correlogram for lags 1-20 for the once differenced time series of the ages at death of the English kings, and get the values of the partial autocorrelations, we use the pacf function, by typing. The partial correlogram shows that the partial autocorrelations at lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, are negative, and are slowly decreasing in magnitude with increasing lag lag 1 -0 360, lag 2 -0 335, lag 3 -0 321 The partial autocorrelations tail off to zero after lag 3.Since the correlogram is zero after lag 1, and the partial correlogram tails off to zero after lag 3, this means that the following ARMA autoregressive moving average models are possible for the time series of first differences. an ARMA 3,0 model, that is, an autoregressive model of order p 3, since the partial autocorrelogram is zero after lag 3, and the autocorrelogram tails off to zero although perhaps too abruptly for this model to be appropriate. an ARMA 0,1 model, that is, a moving average model of order q 1, since the autocorrelogram is zero after lag 1 and the p artial autocorrelogram tails off to zero. an ARMA p, q model, that is, a mixed model with p and q greater than 0, since the autocorrelogram and partial correlogram tail off to zero although the correlogram probably tails off to zero too abruptly for this model to be appropriate. We use the principle of parsimony to decide which model is best that is, we assume that the model with the fewest parameters is best The ARMA 3,0 model has 3 parameters, the ARMA 0,1 model has 1 parameter, and the ARMA p, q model has at least 2 parameters Therefore, the ARMA 0,1 model is taken as the best model. An ARMA 0,1 model is a moving average model of order 1, or MA 1 model This model can be written as Xt - mu Zt - theta Zt-1 , where Xt is the stationary time series we are studying the first differenced series of ages at death of English kings , mu is the mean of time series Xt, Zt is white noise with mean zero and constant variance, and theta is a parameter that can be estimated. A MA moving average model is usually used to model a time series that shows short-term dependencies between successive observations Intuitively, it makes good sense that a MA model can be used to describe the irregular component in the time series of ages at death of English kings, as we might expect the age at death of a particular English king to have some effect on the ages at death of the next king or two, but not much effect on the ages at death of kings that reign much longer after that. Shortcut the function. The function can be used to find the appropriate ARIMA model, eg type library forecast , then The output says an appropriate model is ARIMA 0,1,1.Since an ARMA 0,1 model with p 0, q 1 is taken to be the best candidate model for the time series of first differences of the ages at death of English kings, then the original time series of the ages of death can be modelled using an ARIMA 0,1,1 model with p 0, d 1, q 1, where d is the order of differencing required. Example of the Volcanic Dust Veil in the Nort hern Hemisphere. Let s take another example of selecting an appropriate ARIMA model The file file contains data on the volcanic dust veil index in the northern hemisphere, from 1500-1969 original data from Hipel and Mcleod, 1994 This is a measure of the impact of volcanic eruptions release of dust and aerosols into the environment We can read it into R and make a time plot by typing. From the time plot, it appears that the random fluctuations in the time series are roughly constant in size over time, so an additive model is probably appropriate for describing this time series. Furthermore, the time series appears to be stationary in mean and variance, as its level and variance appear to be roughly constant over time Therefore, we do not need to difference this series in order to fit an ARIMA model, but can fit an ARIMA model to the original series the order of differencing required, d, is zero here. We can now plot a correlogram and partial correlogram for lags 1-20 to investigate what ARI MA model to use. We see from the correlogram that the autocorrelations for lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, and that the autocorrelations tail off to zero after lag 3 The autocorrelations for lags 1, 2, 3 are positive, and decrease in magnitude with increasing lag lag 1 0 666, lag 2 0 374, lag 3 0 162.The autocorrelation for lags 19 and 20 exceed the significance bounds too, but it is likely that this is due to chance, since they just exceed the significance bounds especially for lag 19 , the autocorrelations for lags 4-18 do not exceed the signifiance bounds, and we would expect 1 in 20 lags to exceed the 95 significance bounds by chance alone. From the partial autocorrelogram, we see that the partial autocorrelation at lag 1 is positive and exceeds the significance bounds 0 666 , while the partial autocorrelation at lag 2 is negative and also exceeds the significance bounds -0 126 The partial autocorrelations tail off to zero after lag 2.Since the correlogram tails off t o zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2, the following ARMA models are possible for the time series. an ARMA 2,0 model, since the partial autocorrelogram is zero after lag 2, and the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2.an ARMA 0,3 model, since the autocorrelogram is zero after lag 3, and the partial correlogram tails off to zero although perhaps too abruptly for this model to be appropriate. an ARMA p, q mixed model, since the correlogram and partial correlogram tail off to zero although the partial correlogram perhaps tails off too abruptly for this model to be appropriate. Shortcut the function. Again, we can use to find an appropriate model, by typing , which gives us ARIMA 1,0,2 , which has 3 parameters However, different criteria can be used to select a model see help page If we use the bic criterion, which penalises the number of parameters, we get ARIMA 2,0,0 , which is ARMA 2,0 bic. The ARMA 2,0 model has 2 parameters, the ARMA 0,3 model has 3 parameters, and the ARMA p, q model has at least 2 parameters Therefore, using the principle of parsimony, the ARMA 2,0 model and ARMA p, q model are equally good candidate models. An ARMA 2,0 model is an autoregressive model of order 2, or AR 2 model This model can be written as Xt - mu Beta1 Xt-1 - mu Beta2 Xt-2 - mu Zt, where Xt is the stationary time series we are studying the time series of volcanic dust veil index , mu is the mean of time series Xt, Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated, and Zt is white noise with mean zero and constant variance. An AR autoregressive model is usually used to model a time series which shows longer term dependencies between successive observations Intuitively, it makes sense that an AR model could be used to describe the time series of volcanic dust veil index, as we would expect volcanic dust and aerosol levels in one year to affect those in much later years, since the dust and aerosols are unlikely to disappear quickly. If an ARMA 2,0 model with p 2, q 0 is used to model the time series of volcanic dust veil index, it would mean that an ARIMA 2,0,0 model can be used with p 2, d 0, q 0, where d is the order of differencing required Similarly, if an ARMA p, q mixed model is used, where p and q are both greater than zero, than an ARIMA p,0,q model can be used. Forecasting Using an ARIMA Model. Once you have selected the best candidate ARIMA p, d,q model for your time series data, you can estimate the parameters of that ARIMA model, and use that as a predictive model for making forecasts for future values of your time series. You can estimate the parameters of an ARIMA p, d,q model using the arima function in R. Example of the Ages at Death of the Kings of England. For example, we discussed above that an ARIMA 0,1,1 model seems a plausible model for the ages at deaths of the kings of England You can specify the values of p, d and q in the ARIMA model by using the order argument of the arima f unction in R To fit an ARIMA p, d,q model to this time series which we stored in the variable kingstimeseries , see above , we type. As mentioned above, if we are fitting an ARIMA 0,1,1 model to our time series, it means we are fitting an an ARMA 0,1 model to the time series of first differences An ARMA 0,1 model can be written Xt - mu Zt - theta Zt-1 , where theta is a parameter to be estimated From the output of the arima R function above , the estimated value of theta given as ma1 in the R output is -0 7218 in the case of the ARIMA 0,1,1 model fitted to the time series of ages at death of kings. Specifying the confidence level for prediction intervals. You can specify the confidence level for prediction intervals in by using the level argument For example, to get a 99 5 prediction interval, we would type h 5, level c 99 5.We can then use the ARIMA model to make forecasts for future values of the time series, using the function in the forecast R package For example, to forecast the ages at death of the next five English kings, we type. The original time series for the English kings includes the ages at death of 42 English kings The function gives us a forecast of the age of death of the next five English kings kings 43-47 , as well as 80 and 95 prediction intervals for those predictions The age of death of the 42nd English king was 56 years the last observed value in our time series , and the ARIMA model gives the forecasted age at death of the next five kings as 67 8 years. We can plot the observed ages of death for the first 42 kings, as well as the ages that would be predicted for these 42 kings and for the next 5 kings using our ARIMA 0,1,1 model, by typing. As in the case of exponential smoothing models, it is a good idea to investigate whether the forecast errors of an ARIMA model are normally distributed with mean zero and constant variance, and whether the are correlations between successive forecast errors. For example, we can make a correlogram of the forecast e rrors for our ARIMA 0,1,1 model for the ages at death of kings, and perform the Ljung-Box test for lags 1-20, by typing. Since the correlogram shows that none of the sample autocorrelations for lags 1-20 exceed the significance bounds, and the p-value for the Ljung-Box test is 0 9, we can conclude that there is very little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors at lags 1-20.To investigate whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we can make a time plot and histogram with overlaid normal curve of the forecast errors. The time plot of the in-sample forecast errors shows that the variance of the forecast errors seems to be roughly constant over time though perhaps there is slightly higher variance for the second half of the time series The histogram of the time series shows that the forecast errors are roughly normally distributed and the mean seems to be close to zero Therefore, it is plausible that the forecast error s are normally distributed with mean zero and constant variance. Since successive forecast errors do not seem to be correlated, and the forecast errors seem to be normally distributed with mean zero and constant variance, the ARIMA 0,1,1 does seem to provide an adequate predictive model for the ages at death of English kings. Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere. We discussed above that an appropriate ARIMA model for the time series of volcanic dust veil index may be an ARIMA 2,0,0 model To fit an ARIMA 2,0,0 model to this time series, we can type. As mentioned above, an ARIMA 2,0,0 model can be written as written as Xt - mu Beta1 Xt-1 - mu Beta2 Xt-2 - mu Zt, where Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated The output of the arima function tells us that Beta1 and Beta2 are estimated as 0 7533 and -0 1268 here given as ar1 and ar2 in the output of arima. Now we have fitted the ARIMA 2,0,0 model, we can use the model to predict future values of the volcanic dust v eil index The original data includes the years 1500-1969 To make predictions for the years 1970-2000 31 more years , we type. We can plot the original time series, and the forecasted values, by typing. One worrying thing is that the model has predicted negative values for the volcanic dust veil index, but this variable can only have positive values The reason is that the arima and functions don t know that the variable can only take positive values Clearly, this is not a very desirable feature of our current predictive model. Again, we should investigate whether the forecast errors seem to be correlated, and whether they are normally distributed with mean zero and constant variance To check for correlations between successive forecast errors, we can make a correlogram and use the Ljung-Box test. The correlogram shows that the sample autocorrelation at lag 20 exceeds the significance bounds However, this is probably due to chance, since we would expect one out of 20 sample autocorrelations to exceed the 95 significance bounds Furthermore, the p-value for the Ljung-Box test is 0 2, indicating that there is little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors for lags 1-20.To check whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we make a time plot of the forecast errors, and a histogram. The time plot of forecast errors shows that the forecast errors seem to have roughly constant variance over time However, the time series of forecast errors seems to have a negative mean, rather than a zero mean We can confirm this by calculating the mean forecast error, which turns out to be about -0 22.The histogram of forecast errors above shows that although the mean value of the forecast errors is negative, the distribution of forecast errors is skewed to the right compared to a normal curve Therefore, it seems that we cannot comfortably conclude that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant var iance Thus, it is likely that our ARIMA 2,0,0 model for the time series of volcanic dust veil index is not the best model that we could make, and could almost definitely be improved upon. Links and Further Reading. Here are some links for further reading. For a more in-depth introduction to R, a good online tutorial is available on the Kickstarting R website. There is another nice slightly more in-depth tutorial to R available on the Introduction to R website. You can find a list of R packages for analysing time series data on the CRAN Time Series Task View webpage. To learn about time series analysis, I would highly recommend the book Time series product code M249 02 by the Open University, available from the Open University Shop. There are two books available in the Use R series on using R for time series analyses, the first is Introductory Time Series with R by Cowpertwait and Metcalfe, and the second is Analysis of Integrated and Cointegrated Time Series with R by Pfaff. I am grateful to P rofessor Rob Hyndman for kindly allowing me to use the time series data sets from his Time Series Data Library TSDL in the examples in this booklet. Many of the examples in this booklet are inspired by examples in the excellent Open University book, Time series product code M249 02 , available from the Open University Shop. Thank you to Ravi Aranke for bringing to my attention, and Maurice Omane-Adjepong for bringing unit root tests to my attention, and Christian Seubert for noticing a small bug in plotForecastErrors Thank you for other comments to Antoine Binard and Bill Johnston. I will be grateful if you will send me Avril Coghlan corrections or suggestions for improvements to my email address alc sanger ac uk. mav c 4,5,4,6 , 3 Time Series Start 1 End 4 Frequency 1 1 NA 4 333333 5 000000 NA. Here I was trying to do a rolling average which took into account the last 3 numbers so I expected to get just two numbers back 4 333333 and 5 and if there were going to be NA values I thought they d be at the beginning of the sequence. In fact it turns out this is what the sides parameter controls. sides for convolution filters only If sides 1 the filter coefficients are for past values only if sides 2 they are centred around lag 0 In this case the length of the filter should be odd, but if it is even, more of the filter is forward in time than backward. So in our mav function the rolling average looks both sides of the current value rather than just at past values We can tweak that to get the behaviour we want. library zoo rollmean c 4,5,4,6 , 3 1 4 333333 5 000000.I also realised I can list all the functions in a package with the ls function so I ll be scanning zoo s list of functions next time I need to do something time series related there ll probably already be a function for it. ls package zoo 1 4 7 10 13 16 coredata coredata - 19 facetfree 22 frequency - index 25 index - index2char 28 MATCH 31 34 37 40 43 46 49 ORDER 52 55 58 61 64 67 70 73 76 79 82 rollapply rollapplyr rollm ax 85 rollmaxr rollmean 88 rollmeanr rollmedian 91 rollmedianr rollsum 94 rollsumr scalexyearmon 97 scalexyearqtr scaleyyearmon scaleyyearqtr 100 time - 103 xblocks 106 yearmon yearmontrans 109 yearqtr yearqtrtrans zoo 112 zooreg. Be Sociable, Share.
No comments:
Post a Comment